隔板方法的解释

隔板方法是在(n- 1)个空气中的n个元素之间插入k个板块的方法隔板法,可以将n个元素分成k + 1个组。

应用分区方法必须满足三个条件:

(1)这n个元素必须彼此不同

(2)每组至少分为一个元素

([3)分为不同的组

示例1:在二年级,协商了8个班级ag真人 ,组成一个年级篮球队。总共需要10名玩家,并且每个班级必须至少有一个。有多少种不同的方式?

分析:将10个玩家解释为10个球,并将它们连续排列以形成9个差距。想象有7个分区,并将10个球连续分成8个部分。注意:任意两个分区不能相邻!因此,C7 // 9 = 36类型。

示例2:方程X + Y + Z + w =​​ 23有多少个正整数解。

分析:我们假设有23个无法区分的球连续排列,形成总共22个空隙,这可以理解为具有3个分区,将排列的球分为4个部分,总共为C3 / 22 = 1540正整数解。

示例3:

(有待解决)注意:示例5中的思想可以作为参考。

某些不满足上述分区法则要求的问题可以通过某些技术“转换”为合格的分区问题。

技巧1:使用隔板方法添加球数

示例4:找到方程X + Y + Z + w =​​ 23的非负整数解的数量。

分析:请注意,x,y和z可以为零鸭脖app官网 ,因此上述问题的解决方案中“对每个空白空间最多插入一个分区”的限制不成立。我该怎么办?只需添加四个球,每个球分别对应x,y,z和w。通过这种方式,原始问题转化为找到X + Y + Z + w =​​ 26的正整数解的数量,因此解的数量为C3 / 26 = 2600(数量)。注释:在此示例中,通过增加球数,该问题将转换为示例1中的典型分区方法问题。

示例5:在三个人中分配了二十个相同的球。允许有人不带它们山东快3 ,但必须将它们分开。有多少个师?

分析:问题转换为:将20个相同的球分配给编号分别为1、2和3的盒子。盒子可以为空,但必须将它们分开。有多少种方式?分析:连续放置20个球拍,两端总共包括21个空隙(因为盒子在这里可以是空的,也就是说隔板法,分区可以“挤压”成一个空隙,因此无法通过该空隙来计算! !),划分2当将板插入这些间隙时,每个划分位置对应一个划分方法。有22个球和隔板,C2 / 22 = 231种。

或者使用示例4中的思维方式:添加3个球,并给3个人一个。问题转化为:在3个人中分配了23个相同的球,每个人至少有一个球,必须进行划分。多少个师?即23个球有22个间隙,将2个分区分为三部分,C2 / 22 = 231种。

评论:这个问题是典型的玻色-爱因斯坦(Bose-Einstein)统计模型:将k个相同的球放入n个不同的盒子中,每个盒子中的球数不受限制,有多少种不同的方式?请注意。

技巧2:使用隔板方法减少球的数量

示例6:将20个相同的小球放入分别编号为1、2、3和4的四个盒子中。每个盒子中的球数必须不少于其编号。总计如何计算。

分析:首先将0、1、2、3球分别放入四个分别名为1、2、3和4的盒子中,还剩下14个无法区分的球。这个问题相当于将14个球放入4个盒子,分别将1,2,3,4放入4个盒子,每个盒子至少有一个球问题。

其余14个不可区分的球排成一排,形成总共13个空隙,这可以理解为具有3个隔板,将这些球连续分成4个部分AG体育 ,每部分至少1个,C3 / 13 = 286(物种)。

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